ЛЕКЦИЯ  1

ВВЕДЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Определяется предмет и задачи математической физики. Вводится понятие дифференциального уравнения счастными производными и его решения. Рассматриваются основные признаки, по которым осуществляется классификация дифференциальных уравнений с частными производными. Даётся обоснование в необходимости такой классификации.

§ 1.1. Введение

Математическая физика представляет собой раздел математики, предметом которого является составление и исследование математических моделей физических явлений. Задачи математической физики, как правило, сводятся к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, к решению систем дифференциальных уравнений с частными  производными  или  к   решению  интегральных  уравнений.

Традиционная (классическая) математическая физика исследует задачи механики, гидродинамики, акустики, диффузии, теплопередачи, электродинамики, оптики и другие, в то время как современная математическая  физика  рассматривает  задачи  квантовой  теории  поля, задачи,  использующие понятие дробных производных и другие  задачи.

В данном курсе будут рассматриваться краевые задачи для дифференциальных  уравнений  классической  математической  физики.  Наряду с традиционным способом изложения, основанном на классической схеме,  будет  использоваться  также  аппарат  обобщённых  функций.

Под дифференциальным уравнением с частными производными понимаем выражение вида

Здесь ,  – неизвестная, искомая функция, т.е. решение уравнения,   – вектор с целочисленными, неотрицательными координатами (мультииндекс),     –  порядок    уравнения.  Условимся обозначать:

,  где ,  .

Тогда

 .

При  ,  т.е.   в   случае  уравнения   не   выше  второго  порядка, будем употреблять  также  обозначения:    и   ,  а  для  одной независимой  переменной    и  так  далее.

Основной задачей теории дифференциальных уравнений с частными производными является нахождение решения уравнения  . В настоящее время различают два различных вида решения этого уравнения: классическое  и  обобщённое. 

Под классическим (традиционным) решением уравнения  будем понимать функцию , которая  при подстановке её в это уравнение обращает его в тождество.  Второй вид решения – это обобщённое решение. Под обобщённым решением уравнения  будем понимать такое решение, которое принадлежит классу обобщённых функций.

§ 1.2. Основные  принципы  классификации

Уравнения математической физики в зависимости от тех физико-математических моделей, которые они описывают и как следствие общих методов  решения  этих  моделей,  разделяют  на  различные классы.

Классификация  дифференциальных  уравнений  с частными производными  важна  потому, что для каждого класса  уравнений существует своя общая теория и общие методы решения. Классификацию выполняют  на основе следующих  основных  признаков:

1) порядка  дифференциального  уравнения,

2) количества  независимых  переменных,

3) линейности  уравнения,

4) однородности  уравнения,

5) вида  коэффициентов  дифференциального  уравнения,

6) типа  дифференциального  уравнения.

Классы уравнений в соответствии с указанными выше признаками представлены в табл. 1.1. 

       Наиболее простой вид имеют дифференциальные уравнения с двумя независимыми  переменными.

Таблица 1.1

П р и м е р 1.1.  Установить,  какие  из  приведенных  ниже  равенств являются дифференциальными  уравнениями   с  частными производными:

а)  ,

б) .

Р е ш е н и е .  а) Если  учесть,  что  ,  то  равенство

преобразуется  к  виду

.

Полученное  выражение  не  является  дифференциальным уравнением  с частными производными.  Это  алгебраическое уравнение.

б) С  помощью  формулы    равенство приводится  к  виду

.

Это  выражение  является  дифференциальным  уравнением  с частными производными.  Порядок  уравнения  равен  двум.

§ 1.3. Классификация  квазилинейных  уравнений  второго порядка

Уравнение

называется квазилинейным, если функция  линейна относительно старших производных, а коэффициенты уравнения при старших производных зависят только  от  переменной  x

В частном, самом простом случае, уравнение  может быть линейным, если функция   линейна  относительно  неизвестной функции  и  её производных , а коэффициенты  уравнения  зависят  только  от переменной 

.

Здесь  – правая часть уравнения. При  уравнение называется однородным  по  правой  части  и  принимает  следующий вид:

.

В противном   случае   уравнение  называется  неоднородным.  Если в

указанных уравнениях  коэффициенты  , то они называются уравнениями с постоянными коэффициентами. Последующая классификация относится к квазилинейным уравнениям второго порядка, которые можно представить в виде

.

При этом для классификации уравнений используют только главную часть этих уравнений

с дифференциальным оператором

,

который после формальной замены  на  и  на  сводится к квадратичной форме следующего вида:

Матрица  коэффициентов квадратичной формы  является симметричной. Вначале рассмотрим уравнения с двумя независимыми переменными . При фиксированном значении  получаем уравнение

        (1.1)

которое описывает на плоскости  некоторую кривую второго порядка. Тип  кривой  определяется  знаком  определителя

 .

Возможны  три  различных  случая   (при ):

1º . В этом случае уравнение (1.1) является уравнением эллипса , а дифференциальное уравнение

                      (1.2)

называется  уравнением  эллиптического  типа (в точке ).

 2º . Тогда уравнение (1.1) описывает гиперболу, а уравнение (1.2) называется уравнением гиперболического типа (в точке ).

3º . В  этом   случае  уравнение  (1.1)  будет  уравнением параболы,  а  (1.2) –  уравнением  параболического  типа  (в точке ).

З а м е ч а н и е. Если уравнение (1.2) является эллиптическим, гиперболическим  или  параболическим в каждой точке области , то оно называется эллиптическим, гиперболическим или параболическим во всей области .

Для  классификации  квазилинейных  уравнений второго порядка при числе независимых переменных  можно использовать теорию квадратичных форм.

П р и м е р   1.2.   Определите тип следующих уравнений:

а),  б) ,

в) ,  г) .

Р е ш е н и е.  а) Коэффициенты  уравнения

Определитель

.

Значит, это уравнение гиперболического типа в.

б) Данное уравнение является уравнением гиперболического типа  при   и  эллиптического  типа  при ,  т.к.  .

в) Это уравнение   параболического  типа  в  ,  т.к.       в .

 г) Определитель    в  .  Поэтому  это уравнение  гиперболического  типа  в  .

ЛЕКЦИЯ  2

ПРИВЕДЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ

Рассматривается методика приведения квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка к более простому (каноническоиу) виду. Отмечаются способы приведения уравнений к каноническому виду. Подробно рассматривается способ, основанный на неособой замене независимых переменных с помощью характеристик квазилинейного дифференциального уравнения с частными производными.

§ 2.1. Характеристические поверхности (характеристики) квазилинейного уравнения второго порядка

Пусть для функции  на  поверхности выполняются условия:

 ,

.                                    (2.1)

Тогда поверхность  называется характеристической поверхностью (характеристикой)  уравнения  (1.2),  а  уравнение (2.1) – характеристическим уравнением. При  характеристическая поверхность называется характеристической линией.

       Характеристическое уравнение (2.1) используется для приведения уравнения (1.2) к каноническому виду.  В случае двух независимых переменных  оно  принимает вид

                    (2.2)

или

.

Уравнение (2.2) сводится к квадратному уравнению

 ,                             (2.3)

решение которого можно представить в виде

.

Разложим  левую часть  уравнения  (2.3)  на  множители

.

После          умножения     на     множитель        уравнение примет вид

 .                        (2.4)

Положим , тогда решение уравнения (2.4) равносильно решению уравнений

.                          (2.5)

Если  воспользуемся  правилом   дифференцирования  неявной функции

 ,

то  уравнения   (12.5)  сводятся  к  эквивалентным уравнениям

.                       (2.6)

Это означает, что если  – общие интегралы уравнений (2.6), то функции  являются  решениями  уравнений  (2.5). Справедливо и обратное утверждение: если  является частным решением уравнения (2.2), то  соотношение  представляет собой общий интеграл уравнения (2.6). Следовательно, уравнение (2.4) в этом  смысле эквивалентно  уравнению

или уравнению

.                                 (2.7)

Таким образом, для нахождения характеристик уравнения (1.2) нужно составить  уравнение  (2.7)  и  найти  его  общие  интегралы   и . Тогда  функции  и  будут  характеристиками уравнения (1.2).

§ 2.1. Приведение квазилинейного уравнения второго порядка к каноническому виду

Рассмотрим  квазилинейное  дифференциальное уравнение второго порядка  с  двумя  независимыми  переменными

 .          (2.8)

Существует два способа, с помощью которых это уравнение можно свести к каноническому  виду.  Первый  связан  с  использованием характеристик     (метод  характеристик), а второй – с приведением квадратичной формы  к  каноническому  виду. Воспользуемся  первым  из  них.  Пусть найдены  характеристики   и  уравнения (2.8). Введем новые независимые переменные  и , . Так    как  (замена   неособенная),  то      найдётся   некоторая окрестность точки  , в которой переменные  можно выразить через  (). Обозначим  ,  тогда  . Вычислим производные

 ,

и подставим их в уравнение (2.8)

.

(2.9)

Положим

,

.

Тогда  уравнение  (2.9)  преобразуется  к  виду

.                       (2.10)

Выпишем выражения для коэффициентов при вторых производных в этом  уравнении

Можно  показать ,  что

Последнее  преобразование означает,  что знак  определителя (следовательно, и  тип  уравнения)  не  меняется  при  неособенном преобразовании  переменных. Дальнейшие вычисления зависят от типа дифференциального уравнения.  Рассмотрим  каждый  случай  в отдельности.

1º Уравнение эллиптического типа. В этом случае ,   поэтому  корни  уравнения  (2.3)   комплексные.  Значит характеристики тоже комплексные, при этом  ,  Формально  положим  и , тогда коэффициенты  в уравнении (2.10)  обращаются  в  нуль  и уравнение  приводится  к  виду

.

Очевидно  ,  так  как  . Поэтому после деления на  получаем

                                  (2.11)

Сделаем  замену  переменных  и .  Найдём производную

В    новых   переменных  уравнение  (2.11)    примет  следующий

канонический вид:

.

2º Уравнение гиперболического типа. В этом случае . Обе характеристики вещественные и различные. Замена  и  приводит уравнение (2.10) к каноническому виду (2.11). После замены переменных  и  уравнение (2.11) в новых переменных принимает вид

.

Это вторая  каноническая форма для гиперболического уравнения.

3º Уравнение параболического типа. В этом случае . Обе характеристики     совпадают,    то    есть    . Положим ,  а    выберем  независимо   от  ,  так чтобы

, 

т.е., чтобы  замена была бы неособенная. Тогда  .  Но так как  ,  то  и . Уравнение  (2.11)  в  этом  случае принимает  следующий  вид

.

Это выражение  называется канонической формой параболического уравнения.

П р и м е р 1.3.  Приведите  к  каноническому  виду  уравнения:

а),

б).

Р е ш е н и е. а) Здесь   – коэффициенты уравнения.  Тогда  определитель   . Значит, это уравнение  эллиптического  типа.  Его  уравнение характеристик 

или

 ,

откуда   ,  т.е.    и    y = (1 + 2i)x + C₁   и   y = (1 -  2i)x + C₂    ( y  –  x ) –i2x = C₁  и

( y  –  x ) + i2x = C₂ . Выберем  в  качестве  новых  переменных    и   ,  тогда

,    ,

 ,  ,  .

В новых переменных уравнение

  имеет вид

 или

.

б) Здесь  –  коэффициенты  уравнения. Тогда   (т.к. по условию  x > 0 , t > 0). Значит  это уравнение  гиперболического  типа  c  уравнением характеристик

и общими интегралами    и  .  За новые  переменные выберем

  и  , , (т.к. по условию ).

В  этих  переменных

 ,   ,

   ,

 .

После  подстановки  найденных  значений  производных  в  исходное уравнение получаем

или

.

В  этом  уравнении  нужно  ещё  заменить  x  и  t  с  помощью  формул

,

что позволяет  привести его к  каноническому  виду

.

Наконец,  с  помощью  замены

получаем  вторую  каноническую  форму

.